Dimostrazioni delle proprietà del modulo
Indice (corso Analisi Matematica 1)
Dimostrazioni relative al modulo
- $z=0$ sse $\left|z\right|=0$
- $\left|z \cdot w\right| = \left|z\right|\cdot \left|w\right|$
- Se $z\neq 0$ allora $\left|{1 \over z}\right| = {1 \over \left|z\right|}$
- Se $w\neq 0$ allora $\left|{z\over w}\right| = {\left|z\right| \over \left|w\right|}$
- $\operatorname{Re}(z) \leqslant \left|\operatorname{Re}(z)\right| \leqslant\left|z\right|$, $\operatorname{Im}(z)\leqslant \left|\operatorname{Im}(z)\right| \leqslant \left|z\right|$ e $\left|z\right| \leqslant \left|\operatorname{Re}(z)\right| + \left|\operatorname{Im}(z)\right|$
- $\left|z+w\right| \leqslant \left|z\right| + \left|w\right|$ (disuguaglianza triangolare)
- $\big|\left|z\right| - \left|w\right|\big| \leqslant \left|z-w\right|$ (disuguaglianza triangolare inversa)
Dimostrazioni
Proprietà del modulo 1
Dimostrare che $z=0$ sse $\left|z\right|=0$
Dimostrazione
Caso: $\Longrightarrow$
Se $z=0 = 0 +0i$ allora $\left|0+0i\right| = 0$
Caso: $\Longleftarrow$
Se $\left|z\right|=0$ allora $a^2+b^2=0$
La somma di due quadrati è zero solamente se entrambi i quadrati sono zero, quindi $a=0$ e $b=0$, da cui la tesi
Proprietà del modulo 2
Dimostrare che
$$\left|z \cdot w\right| \;=\; \left|z\right|\cdot \left|w\right|$$
Dimostrazione
Sia $z=a+bi$ e $w=c+di$, allora $$ z \cdot w \;=\; (a + bi) \cdot (c + di) \;=\; (ac-bd) + (bc+ad)i $$ e quindi
$$ \begin{aligned} \left|z\right| \cdot \left|w\right| &= \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} = \sqrt{(a^2 + b^2) \cdot (c^2 + d^2)} \\ &= \sqrt{a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2} \;=\; \sqrt{a^2c^2 + b^2d^2 {\color{white}{-2abcd}} + a^2d^2 + b^2c^2 {\color{white}{+2abcd}}}\\ &= \sqrt{(ac - bd)^2 + (ad + bc)^2} \;=\; \left|z \cdot w\right| \end{aligned} $$Proprietà del modulo 3
Dimostrare che se $z\neq 0$ allora
$$\left|{1 \over z}\right| \;=\; {1 \over\left|z\right|}$$
Dimostrazione
Da $\left|z\right|^2 = z \cdot \overline{z}$ si ha $$ {1\over z} = {\overline{z} \over \left|z\right|^2} $$ da cui $$ \left|{1 \over z}\right| \;=\; \left|{\overline{z} \over\left|z\right|^2}\right|\;=\; {1 \over \left|z\right|^2} \cdot \left|\overline{z}\right| \;=\; {1 \over \left|z\right|^2} \cdot \left|z\right| \;=\; {1 \over\left|z\right|} $$
Proprietà del modulo 4
Dimostrare che se $w\neq 0$ allora
$$\left|{z\over w}\right| \;=\; {\left|z\right| \over \left|w\right|}$$
Dimostrazione
Se $w\neq 0$ si ha $$ \begin{aligned} \left|{z\over w}\right| &= \left|z \cdot w^{-1}\right| \\ &= \left|z\right| \cdot \left|w^{-1}\right| \\ &= \left|z\right| \cdot \left|w\right|^{-1} \\ &= {\left|z\right|\over \left|w\right|} \end{aligned} $$
Proprietà del modulo 5
Dimostrare che
$\operatorname{Re}(z)\leqslant \left|\operatorname{Re}(z)\right| \leqslant \left|z\right|$
$\operatorname{Im}(z) \leqslant \left|\operatorname{Im}(z)\right| \leqslant \left|z\right|$
$\left|z\right| \leqslant \left|\operatorname{Re}(z)\right| + \left|\operatorname{Im}(z)\right|$
Dimostrazione
Sia $z=a+bi$ allora $$ \operatorname{Re}(z) \;=\; a \leqslant \left|a\right| \;=\; \sqrt{a^2} \leqslant \sqrt{a^2+b^2} \;=\; \left|z\right| $$ e $$ \operatorname{Im}(z) \;=\; b \leqslant \left|b\right| \;=\;\sqrt{b^2} \leqslant \sqrt{a^2+b^2} \;=\; \left|z\right| $$ da cui le prime due tesi
Proprietà del modulo 5
Da $$a^2+b^2 \leqslant \left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2 = a^2+b^2+2\left|a\right|\left|b\right|$$ segue che $$ \left|z\right| = \sqrt{a^2+b^2} \leqslant \left|a\right| + \left|b\right| = \left|\operatorname{Re}(z)\right| + \left|\operatorname{Im}(z)\right| $$ da cui la tesi
Proprietà del modulo 6
Dimostrare (disuguaglianza triangolare) che
$$\left|z+w\right| \leqslant \left|z\right|+ \left|w\right|$$
Dimostrazione
Ricordiamo che
- $z+\overline{z} = 2\operatorname{Re}(z)$
- $\operatorname{Re}(z) \leqslant \left|z\right|$
Proprietà del modulo 6
Si ha $$ \begin{aligned} \left|z+w\right|^2 &= (z+w) \cdot \overline{(z+w)} = z\overline{z} + \big(z\overline{w} + \overline{z}w\big) + w\overline{w} \\ &= \left|z\right|^2 + \big(z\overline{w} + \overline{z\overline{w}}\big) + \left|w\right|^2 \\ &\color{white}{\text{(usando }z+\overline{z} = 2\operatorname{Re}(z)\text{ si ha)}}\\ &= \left|z\right|^2 + 2\operatorname{Re}\left(z\overline{w}\right)+ \left|w\right|^2 \\ &\color{white}{\text{(usando }\operatorname{Re}(z)\leqslant \left|z\right| \text{ si ha)}}\\ &\leqslant \left|z\right|^2 + 2\left|z\overline{w}\right| + \left|w\right|^2 \\ &= \left|z\right|^2 + 2\left|z\right|\left|w\right| + \left|w\right|^2 \\ &= \left(\left|z\right| + \left|w\right|\right)^2 \end{aligned} $$
Essendo i moduli $\left|z+w\right|$, $\left|z\right|$ e $\left|w\right|$ positivi segue la disuguaglianza $\left|z+w\right| \leqslant \left|z\right| + \left|w\right|$
Proprietà del modulo 7
Dimostrare (disuguaglianza triangolare inversa) che
$$\big|\left|z\right| - \left|w\right|\big| \leqslant \left|z-w\right|$$
Dimostrazione
Dalla disuguaglianza triangolare si ha $$ \left|z\right| = \left|(z-w)+w\right| \leqslant \left|z-w\right| +\left|w\right| \;\implies\;\left|z\right| -\left|w\right| \leqslant \left|z-w\right| $$ e $$ \begin{aligned} \left|w\right| = \left|(w-z)+z\right| \leqslant \left|w-z\right| + \left|z\right| = \left|z-w\right| + \left|z\right| &\;\implies\; \left|w\right| - \left|z\right| \leqslant \left|z-w\right| \\ &\;\implies\; \left|z\right| - \left|w\right| \geqslant -\left|z-w\right| \end{aligned} $$
Proprietà del modulo 7
da cui $$ \begin{cases} \left|z\right|- \left|w\right| \leqslant \left|z-w\right| \\ \left|z\right| - \left|w\right| \geqslant -\left|z-w\right| \end{cases} \;\implies\; -\left|z-w\right| \leqslant \left|z\right| - \left|w\right| \leqslant \left|z-w\right| \\;\implies\; \big| \left|z\right| - \left|w\right| \big| \leqslant \left|z-w\right| $$
Nota: Ricordiamo che $|x|\leqslant a \;\iff\; -a\leqslant x \leqslant a$
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