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Definizione assiomatica dei numeri complessi

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

  • Formalismo algebrico
  • Formalizzazione assiomatica (o modello vettoriale)
  • Relazione con la forma algebrica
  • Esempio legge distributiva
  • VIDEO
  • PDF

    • Formalismo algebrico

    Nella costruzione di $z=a+bi$ è importante partire dall'oggetto $i$ che gode della proprietà $i^2=-1$

    e da questo poi con le usuali regole dell'algebra segue che

    • $\sqrt{-1}=i$
    • $\sqrt{-1}=-i$ i.e. $(-i)\cdot (-i) = -1$

    cioè ci sono due radici di $\sqrt{-1}$ che sono $\pm i$


    Modello per i numeri complessi

    Esistono diversi modelli

    • modello vettoriale (qui adottato)

    • modello matriciale

    • modello polinomiale (attraverso la teoria dei gruppi)

    Il modello vettoriale permette di associare il numero $x+yi$ con la coppia $(x,y)$ e questo ci tornerà utile nella rappresentazione grafica dei numeri complessi


    Formalizzazione assiomatica (o modello vettoriale)

    Si definisce numero complesso la coppia ordinata $(a,b)$ con $a,b\in\mathbb{R}$, tale che valgono le seguenti operazioni:

    • Uguaglianza: $(a,b) = (c,d)$ sse $a=c$ e $b=d$
    • Addizione: $(a,b)+(c,d)= (a+c, b+d)$
    • Moltiplicazione: $(a,b) \cdot (c,d)= (ac-bd, ad+bc)$

    L'insieme dei numeri complessi è definito come $$ \mathbb{C} = \mathbb{R}^2 = \left\{(a,b) \ | \ a, b \in \mathbb{R}\right\} $$


    Relazione con la forma algebrica

    La moltiplicazione per una costante diventa: $$m \cdot (a,b) = (m, 0) \cdot (a,b) = (ma-0, mb+0) = (ma, mb)$$

    Dalla definizione di addizione e moltiplicazione si ha $$ \begin{aligned} (a,b) &= (a,0) + (0,b) = a(1,0) + b(0,1) \\ (0,1) \cdot (0,1) &= (0 \cdot 0 - 1\cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) =(-1, 0) = -1 \cdot (1, 0) \end{aligned} $$

    Il numero complesso $z=a+bi$ corrisponde alla coppia $(a,b)= a(1,0) + b(0,1)$ dove

    • $(1,0)$ corrisponde al numero reale al numero $1$
    • $(0,1)$ corrisponde al numero immaginario $i$

    Lo zero complesso $(0,0)$ corrisponde al numero reale $0$


    Operazioni

    Dalla definizione segue che le operazioni soddisfano la legge

    • commutativa: $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ e $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$

    • associativa: $z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3$ e $z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3$

    • distributiva: $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$

    Gli elementi neutri sono

    • addizione: $(0,0)$, infatti $(a,b)+(0,0)=(a,b)$

    • moltiplicazione: $(1,0)$, infatti $(a,b) \cdot (1,0)= (a \cdot 1 - b\cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1)= (a,b)$


    Esempio

    Dimostrare la legge distributiva $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$

    Dimostrazione

    Sia $z_1=(a_1, b_1)$, $z_2=(a_2, b_2)$ e $z_3=(a_3, b_3)$ allora

    $$ \begin{aligned} z_1 \cdot (z_2 + z_3) &= (a_1, b_1) \cdot \big((a_2, b_2)+(a_3, b_3)\big) \\ &= (a_1, b_1) \cdot (a_2+a_3, b_2+b_3) \\ &= (a_1 \cdot (a_2+a_3) - b_1 \cdot (b_2+b_3), a_1 \cdot (b_2+b_3) + b_1 \cdot (a_2+a_3)) \\ &= (\color{white}{a_1 a_2} + a_1 a_3 \color{white}{- b_1 b_2} - b_1 b_3, \color{white}{a_1 b_2} + a_1 b_3 + \color{white}{b_1 a_2} + b_1 a_3) \\ &= \color{white}{(a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + b_1 a_2)} + (a_1 a_3 - b_1 b_3, a_1 b_3 + b_1 a_3) \\ &= (a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) + (a_1, b_1) \cdot (a_3, b_3) \\ &= z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \end{aligned} $$

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