Disequazioni con i radicali
Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)
- Disequazioni notevoli con la radice
- Radice pari
- Radice dispari
- Esempi
Indice degli esempi
Risolvere
- $\sqrt{2-x^2}>x$
- $\sqrt{2x-1}<x$
- $\sqrt{3-x^2}>\sqrt{3x^2-1}$
Disequazioni notevoli
Le tipologie di disequazioni dipendono dalla forma convenzione utilizzata:
- $x$ reali
- ramo principale
Analizziamo i diversi casi nelle diverse convenzioni.
Primo caso (maggiore o maggiore uguale)
Per semplificare una disequazione della forma $$ \sqrt[n]{P(x)}\geqslant Q(x) $$ dobbiamo
- aggiungere le condizioni di esistenza di $P(x)$
- e il fatto che $Q(x)$ può essere maggiore o uguale a zero
Analizziamo i singoli casi.
Convezione $x$ reale
In questo caso va considerato il fatto se $n$ è pari o dispari.
Se $n$ è pari si ha $$ \sqrt[n]{P(x)}{\geqslant} Q(x) \;\stackrel{\text{n pari}}{\iff}\; \begin{cases} Q(x)<0\\ P(x)\geqslant 0\\ \end{cases} \quad\bigcup\quad \begin{cases} Q(x)\geqslant0\\ P(x){\geqslant} [Q(x)]^{n}\\ \end{cases} $$
Se $n$ è pari si ha $$ \sqrt[n]{P(x)}{>} Q(x) \;\stackrel{\text{n pari}}{\iff}\; \begin{cases} Q(x) < 0\\ P(x)\geqslant 0\\ \end{cases} \quad\bigcup\quad \begin{cases} Q(x)\geqslant0\\ P(x){ > } [Q(x)]^{n}\\ \end{cases} $$
Convezione $x$ reale
Se $n$ è dispari si ha $$ \sqrt[n]{P(x)}\geqslant Q(x) \;\stackrel{\text{n dispari}}{\iff}\; P(x)\geqslant [Q(x)]^{n} $$
Se $n$ è dispari si ha $$ \sqrt[n]{P(x)}> Q(x) \;\stackrel{\text{n dispari}}{\iff}\; P(x)> [Q(x)]^{n} $$
Convezione ramo principale
Nella convenzione del ramo principale bisogna aggiungere sempre la condizione di esistenza positiva o zero alla radice. Quindi le disequazioni sono trattate come il caso $n$ pari della convezione dei reali.
Si ha
$$ \sqrt[n]{P(x)}\geqslant Q(x) \;\iff\; \begin{cases} Q(x) < 0\\ P(x)\geqslant 0\\ \end{cases} \quad\bigcup\quad \begin{cases} Q(x)\geqslant0\\ P(x)\geqslant0\\ P(x)\geqslant [Q(x)]^{n}\\ \end{cases} $$
$$ \sqrt[n]{P(x)}> Q(x) \;\iff\; \begin{cases} Q(x) < 0\\ P(x)\geqslant 0\\ \end{cases} \quad\bigcup\quad \begin{cases} Q(x)\geqslant0\\ P(x)\geqslant0\\ P(x) > [Q(x)]^{n}\\ \end{cases} $$
Secondo caso (minore o minore uguale)
Per semplificare una disequazione della forma $$ \sqrt[n]{P(x)}\leqslant Q(x) $$ dobbiamo aggiungere le condizioni di esistenza di $P(x)$ e il fatto che $Q(x)$ è minore o uguale a zero.
Analizziamo i singoli casi.
Convezione $x$ reale
In questo caso va considerato il fatto se $n$ è pari o dispari.
Se $n$ è pari si ha $$ \sqrt[n]{P(x)}\leqslant Q(x) \;\stackrel{\text{n pari}}{\iff}\; \begin{cases} P(x)\leqslant [Q(x)]^{n}\\ P(x)\geqslant 0\\ Q(x)\geqslant 0 \end{cases} $$
Se $n$ è pari si ha $$ \sqrt[n]{P(x)} < Q(x) \;\stackrel{\text{n pari}}{\iff}\; \begin{cases} P(x)< [Q(x)]^{n}\\ P(x)\geqslant 0\\ Q(x)> 0 \end{cases} $$
Convezione $x$ reale
Se $n$ è dispari si ha $$ \sqrt[n]{P(x)}\leqslant Q(x) \;\stackrel{\text{n dispari}}{\iff}\; P(x)\leqslant [Q(x)]^{n} $$
Se $n$ è dispari si ha $$ \sqrt[n]{P(x)}< Q(x) \;\stackrel{\text{n dispari}}{\iff}\; P(x)< [Q(x)]^{n} $$
Convezione ramo principale
Nella convenzione del ramo principale bisogna aggiungere sempre la condizione di esistenza positiva o zero alla radice. Quindi le disequazioni sono trattate come il caso $n$ pari della convezione dei reali.
Si ha
$$ \sqrt[n]{P(x)}\leqslant Q(x) \;\iff\; \begin{cases} P(x)\leqslant [Q(x)]^{n}\\ P(x)\geqslant 0\\ Q(x)\geqslant 0 \end{cases} $$
$$ \sqrt[n]{P(x)} < Q(x) \;\iff\; \begin{cases} P(x)< [Q(x)]^{n}\\ P(x)\geqslant 0\\ Q(x) > 0 \end{cases} $$
Esempi
Esempio 1
Risolvere $${\sqrt{2-x^2}>x}$$
Soluzione
In questo caso non abbiamo il problema della convenzione (radice pari)
Riscrittura della disequazione
La disequazione corrisponde ai sistemi di disequazioni $$ \begin{cases} x < 0\\ 2-x^2\geqslant0\\ \end{cases} \quad\bigcup\quad \begin{cases} x \geqslant 0\\ 2-x^2>x^2\\ \end{cases} $$
Soluzione del primo sistema
La disequazione $x<0$ ha soluzione $$\left\{x<0\right\}$$
La disequazione $2-x^2\geqslant0\;\implies\;-x^2\geqslant-2\;\implies\;x^2\leqslant2$ ha soluzione $$\left\{-\sqrt{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{2}\right\}$$
Intersecando le due soluzione si ottiene $$ \mathbb{S}_1 = \left\{-\sqrt{2}\leqslant x < 0\right\} $$
Soluzione del secondo sistema
La disequazione $x\geqslant 0$ ha soluzione $$\left\{x\geqslant0\right\}$$
La disequazione $2-x^2>x^2\;\implies\;-2x^2>-2\;\implies\;x^2<1$ ha soluzione $$\left\{-1<x<1\right\}$$
Intersecando le due soluzione si ottiene $$ \mathbb{S}_2 = \left\{0\leqslant x < 1\right\} $$
Soluzione finale
Unendo le due soluzioni
- $\mathbb{S}_1 = \left\{-\sqrt{2}\leqslant x < 0\right\}$
- $\mathbb{S}_2 = \left\{0\leqslant x < 1\right\}$
si ottiene $$ \mathbb{S} = \left\{-\sqrt{2}\leqslant x < 1\right\} $$
Esempio 2
Risolvere $${\sqrt{2x-1}<x}$$
Soluzione: Riscrittura della disequazione
La disequazione corrisponde al sistema di disequazioni $$\begin{cases} 2x-1 < x^2\\ 2x-1 \geqslant 0\\ x > 0 \end{cases}$$
La prima disequazione $2x-1 < x^2\;\implies\;x^2-2x+1>0\;\implies\;(x-1)^2>0$ ha soluzione $$\mathbb{R}\setminus{1}$$
La seconda disequazione $2x-1\geqslant0\;\implies\;x\geqslant{1\over2}$ ha soluzione $$\left\{x\geqslant{1\over2}\right\}$$
La terza disequazione $x>0$ ha soluzione $$\left\{x>0\right\}$$
Intersecando le tre soluzioni
- $\mathbb{R}\setminus{1}$
- $\left\{x\geqslant{1\over2}\right\}$
- $\left\{x>0\right\}$
si ha la soluzione $$ \mathcal{S}=\left\{{1\over2}\leqslant x < 1\right\}\;\lor\;\left\{x>1\right\} $$
Esempio 3
Risolvere $${\sqrt{3-x^2}>\sqrt{3x^2-1}}$$
Soluzione
La disequazione è equivalente al seguente sistema di disequazioni:
$$\begin{cases} 3-x^2 \geqslant 0\\ 3x^2-1\geqslant 0\\ 3-x^2 > 3x^2-1 \end{cases}$$
La disequazione $3-x^2 \geqslant 0$ ha soluzione $$\left\{-\sqrt{3}\leqslant x \leqslant \sqrt{3}\right\}$$
La disequazione $3x^2-1\geqslant 0$ ha soluzione $$\left\{x\leqslant -{1\over\sqrt{3}}\right\} \;\lor\; \left\{x\geqslant {1\over\sqrt{3}}\right\}$$
La disequazione $3-x^2 > 3x^2-1\;\implies\; -4x^2+4>0 \;\implies\; x^2-1 < 0$ ha soluzione $$\left\{-1 < x < 1\right\}$$
La soluzione finale si ottiene intersecando le soluzioni
- $\left\{-\sqrt{3}\leqslant x \leqslant \sqrt{3}\right\}$
- $\left\{x\leqslant -{1\over\sqrt{3}}\right\} \;\lor\; \left\{x\geqslant {1\over\sqrt{3}}\right\}$
- $\left\{-1 < x < 1\right\}$
ottenendo
$$ \left\{-1 < x \leqslant -{1\over\sqrt{3}}\right\} \;\cup\; \left\{{1\over\sqrt{3}} \leqslant x < 1\right\} $$
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